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Presentación

El Grupo de Investigación TEORÍA DE BIFURCACIONES Y SISTEMAS DINÁMICOS tiene su sede en el Departamento de Matemáticas de la Universidad de Cádiz. Su responsable es María Luz Gandarias Núñez.

El principal interés de los miembros del grupo es el estudio matemático de varios fenómenos que aparecen en las ciencias experimentales: Física, Ingeniería, Ciencias Ambientales, Matemáticas Financieras, etc. Estos fenómenos pueden ser modelizados en términos de sistemas de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.

Durante los últimos años, el tema principal del trabajo del grupo ha estado en las aplicaciones de la teoría de los grupos de transformación para ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.

Algunos modelos  que se han estudiado son los siguientes:

1.    Clases de ecuaciones que describen el movimiento de las ondas.
2.    Ecuaciones que surge en el ámbito de la teoría de control estocástico.
3.    Ecuaciones de difusión convección en medios porosos.
4.    Pares de Lax.
5.    Modelos de lubricación y de película delgada.

Relacionados con estos modelos, se han obtenido reducciones mediante simetrías, transformaciones de equivalencia, invariantes diferenciales y leyes conservativas. Mediante la aplicación de algunos métodos directos, como el método de expansión, se han obtenido algunas soluciones exactas con interés físico.

Encontrar las leyes conservativas es importante en el estudio de estos sistemas físicos. En el estudio de las ecuaciones diferenciales, las leyes conservativas tienen muchos usos importantes, especialmente en relación con la integrabilidad y linealización, las constantes de movimiento, análisis de soluciones y métodos de solución numérica.

Además, el desarrollo de nuevos métodos, tales como las simetrías potenciales no clásicas, el uso de simetrías no locales para reducir el orden de algunas ecuaciones diferenciales ordinarias que no tienen simetrías de Lie, y la generalización de un nuevo procedimiento para calcular las simetrías no clásicas se ha llevado a cabo. Se ha probado la conexión entre las simetrías ocultas y las simetrías débiles para ecuaciones en derivadas parciales. Se ha introducido la generalización del concepto de ecuación auto-adjunta, que nos ha permitido derivar leyes conservativas para ecuaciones no homogéneas.

Algunos miembros del grupo también han estado haciendo un análisis teórico sobre la reducción y la conservación de las simetrías de las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO). Han introducido un nuevo tipo de simetría que generaliza el concepto de simetría de Lie para una EDO. El concepto de λ-simetría, en parte, se originó al investigar la conservación de las simetrías puntuales de Lie en los procedimientos para reducir un orden. El estudio proporcionó nuevos métodos para reducir el orden o para la integración de las ecuaciones, incluso si carecen de simetrías puntuales de Lie. Los algoritmos involucrados evitan la presencia de términos no locales, habituales en enfoques anteriores (como las simetrías escondidas, campos de vectores exponenciales, las simetrías no locales, etc.). Aparte de las primeras aplicaciones para reducir o integrar ecuaciones, su aplicabilidad ha crecido considerablemente desde el comienzo de la teoría.

Los principales avances realizados por los miembros del grupo durante los últimos tres años son:

1.    La obtención de algoritmos constructivos basados en la existencia de λ-simetrías usados para el cálculo de integrales primeras y factores integrantes.
2.    Estudios sobre la clasificación de las ecuaciones de segundo orden que admiten tipos especiales de λ-simetrías y algoritmos para linealizar y buscar sus soluciones analíticas y / o integrales primeras.
3.    Caracterización de las ecuaciones de segundo orden que puede ser linealizadas a través de transformaciones locales y no locales (incluyendo transformaciones de Sundman generalizadas). 

Algún miembro del grupo ha centrado su investigación en la  teoría de sistemas integrables estableciendo la relación entre las jerarquías de dispersión cero y los modelos de matrices o los modelos de movimientos brownianos.